Lösa ekvationer: balansmetoden steg för steg

Vad är en ekvation?

En ekvation är ett matematiskt påstående med ett likhetstecken. På båda sidor om likhetstecknet står uttryck som ska ha samma värde. Ofta finns en obekant, vanligen x, och uppgiften är att ta reda på vilket värde x måste ha.

Ta ekvationen 3x + 4 = 19. Skrivningen 3x betyder 3 × x. Om x är 5 blir vänster sida 3 × 5 + 4, alltså 19. Höger sida är också 19, så x = 5 är lösningen.

Likhetstecknet kan ses som en balans. Vänster och höger sida väger lika mycket. Om du ändrar något på ena sidan måste samma ändring göras på den andra. Då behåller ekvationen samma lösning. Målet är vanligtvis att få x ensamt på ena sidan av likhetstecknet.

Så räknar du

Balansmetoden bygger på att använda motsatta räknesätt i lagom ordning. Addition tas bort med subtraktion, multiplikation tas bort med division och tvärtom. Skriv gärna ett mellanled per rad. Det gör det lättare att se både räkningen och eventuella teckenfel.

Räkna ut ekvationen 4(x - 2) + 3 = 2x + 15 steg för steg.

1. Börja med parentesen. Talet 4 ska multipliceras med allt i parentesen: 4(x - 2) = 4x - 8.
2. Ekvationen blir 4x - 8 + 3 = 2x + 15. Förenkla vänster sida till 4x - 5 = 2x + 15.
3. Samla x-termerna. Subtrahera 2x på båda sidor: 2x - 5 = 15.
4. Ta bort -5 genom att addera 5 på båda sidor: 2x = 20.
5. Dela båda sidor med 2: x = 10.

En kontroll visar att svaret fungerar: 4(10 - 2) + 3 = 35 och 2 × 10 + 15 = 35. När båda sidor ger samma resultat är lösningen rimlig.

Parenteser och minustecken

En parentes visar vad som hör ihop. När ett tal står direkt framför en parentes ska talet multipliceras med varje term i parentesen. Exempelvis är 3(x + 4) = 3x + 12. Att skriva 3x + 4 är fel, eftersom 3 då inte har multiplicerats med 4.

Var extra uppmärksam på ett minustecken framför en parentes. Uttrycket 7 - (x + 2) kan skrivas 7 - x - 2. Minustecknet påverkar alltså både x och 2. På samma sätt är 5 - (2x - 3) = 5 - 2x + 3. Ett lugnt mellanled minskar risken att tecknen byter plats av misstag.

Ekvationer med bråk

Bråk förändrar inte grundidén. Om x ÷ 3 + 2 = 6 börjar du med att subtrahera 2 från båda sidor. Då får du x ÷ 3 = 4. Multiplicera sedan båda sidor med 3, så får du x = 12.

När flera termer har samma nämnare kan det vara smidigt att multiplicera hela ekvationen med nämnaren. I ekvationen x ÷ 4 + 3 = 8 multiplicerar du först med 4 på båda sidor: x + 12 = 32. Subtrahera 12, och du får x = 20. Tanken är densamma som i balansmetoden: varje förändring görs på båda sidor.

Ekvationssystem med två obekanta

Ett ekvationssystem består av minst två ekvationer som ska fungera samtidigt. Med två obekanta, exempelvis x och y, behövs normalt två ekvationer som inte säger samma sak för att kunna hitta båda värdena. Substitution är en metod där du först löser ut en obekant i en ekvation och sedan sätter in uttrycket i den andra.

Anta att x + y = 11 och x - y = 3. Från den första ekvationen kan du skriva x = 11 - y. Sätt in det i den andra: (11 - y) - y = 3. Då får du 11 - 2y = 3, alltså -2y = -8 och y = 4. Sätt in y = 4 i x + y = 11. Resultatet blir x = 7.

Substitution passar särskilt bra när x eller y redan står ensamt, eller enkelt kan fås ensamt. Kontrollera gärna båda ekvationerna efteråt. Värdena x = 7 och y = 4 ger både 7 + 4 = 11 och 7 - 4 = 3.

Pröva svarsalternativen bakvägen

I XYZ har varje uppgift fyra svarsalternativ, A–D. Därför kan det ibland gå snabbare att pröva alternativen än att lösa hela ekvationen med algebra. Sätt in ett alternativ i stället för x och jämför sedan sidorna.

Om ekvationen är 2x + 1 = 13 och ett alternativ är x = 5, blir vänster sida 11. Alternativet fungerar alltså inte. När ett alternativ ger 13 på vänster sida är det rätt. Metoden är särskilt användbar när alternativen är enkla eller när en fullständig lösning skulle ta flera steg. Räkna ändå igenom hela uttrycket när du kontrollerar ett alternativ.

Vanliga fel

• Att bara ändra ena sidan. Subtraherar du 4 på vänster sida måste du också subtrahera 4 på höger sida. Annars har du skapat en ny ekvation.
• Att missa en term i parentesen. I 2(x + 3) ska både x och 3 multipliceras med 2. Skriv 2x + 6 innan du går vidare.
• Att blanda ihop tecken. När du flyttar termer är det säkrast att tänka att du adderar eller subtraherar samma sak på båda sidor, i stället för att bara flytta över ett tal.

Så dyker det upp på högskoleprovet

Ekvationer kan förekomma i XYZ, delprovet i matematisk problemlösning. XYZ har 12 uppgifter per provpass, och UHR:s rekommenderade tid för dem är 12 minuter av passets 55, vilket ger omkring en minut per uppgift. Varje XYZ-uppgift har fyra svarsalternativ A–D, så både balansmetoden och baklängesprövning kan vara användbara vägar.

Miniräknare är inte tillåten på högskoleprovet och någon formelsamling får inte tas med. Träna därför på att förenkla uttryck, hantera parenteser och räkna med bråk utan hjälpmedel. Du kan fortsätta med övningsuppgifter i tre svårighetsgrader eller exempeluppgifter med facit.

Tre övningsuppgifter i provets format

Uppgifterna följer XYZ:s upplägg med fyra alternativ. Lös utan miniräknare och ta tid — omkring en minut per uppgift är provets tempo.

Uppgift 1. Vilket värde har x om 3x + 5 = 20?

• A) 4
• B) 5
• C) 6
• D) 7

Visa lösning

Rätt svar: B. Subtrahera 5 från båda sidor, så att 3x = 15. Dela båda sidor med 3. Då får du x = 5.

Uppgift 2. Vilket värde har x om 2(x - 3) = x + 4?

• A) 8
• B) 9
• C) 10
• D) 11

Visa lösning

Rätt svar: C. Multiplicera in 2 i parentesen: 2x - 6 = x + 4. Subtrahera x från båda sidor och addera sedan 6. Då blir x = 10.

Uppgift 3. Ett ekvationssystem är x + y = 13 och x - y = 5. Vilket värde har x?

• A) 7
• B) 8
• C) 9
• D) 10

Visa lösning

Rätt svar: C. Skriv om första ekvationen till x = 13 - y och sätt in i den andra: 13 - y - y = 5. Då blir y = 4. Sätt in y i x + y = 13, vilket ger x = 9.

Vanliga frågor

Vad betyder det att lösa en ekvation?

Att lösa en ekvation är att hitta värdet på den obekanta variabeln som gör att båda sidor om likhetstecknet får samma värde.

Måste jag alltid använda balansmetoden?

Balansmetoden är en trygg grundmetod. När en XYZ-uppgift har fyra svarsalternativ kan du också kontrollera alternativ genom att sätta in dem i ekvationen.

Får man använda miniräknare för ekvationer på högskoleprovet?

Nej. Miniräknare är inte tillåten på högskoleprovet, och du får inte heller ta med en formelsamling.