Hypotenusan: räkna ut sidan med Pythagoras sats

Vad är hypotenusan?

Hypotenusan är den längsta sidan i en rätvinklig triangel. En rätvinklig triangel har en rät vinkel, alltså 90 grader. Hypotenusan är alltid sidan som ligger mitt emot den räta vinkeln.

De två andra sidorna kallas kateter. I Pythagoras sats brukar kateterna kallas a och b, medan hypotenusan kallas c:

• a och b är kateter
• c är hypotenusan

Ett vanligt exempel är en triangel med sidorna 3, 4 och 5. Sidan med längden 5 är hypotenusan, medan 3 och 4 är kateter. Triangeln kan vara ritad åt olika håll, men samma sida är fortfarande hypotenusan även om figuren är ritad åt ett annat håll. Börja därför alltid med att leta efter den räta vinkeln. Sidan mittemot är hypotenusan.

Så räknar du

Sambandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel beskrivs med Pythagoras sats:

a² + b² = c²

Formeln säger att kateternas kvadrater adderas för att ge hypotenusans kvadrat. Att kvadrera betyder att multiplicera ett tal med sig självt. Exempelvis är 8² = 8 × 8 = 64.

Räkna ut hypotenusan

Anta att kateterna är 6 och 8, och att du ska räkna ut hypotenusan c.

1. Sätt in längderna i formeln: 6² + 8² = c².
2. Räkna kvadraterna: 36 + 64 = c².
3. Addera: 100 = c².
4. Ta roten ur: c = √100 = 10.

Hypotenusan är alltså 10. Roten ur är motsatsen till att kvadrera. När du har c² = 100 söker du talet som blir 100 när det multipliceras med sig självt. Eftersom 10 × 10 = 100 blir √100 lika med 10.

Räkna ut en katet

Ibland är hypotenusan och en av kateterna kända. Då ska du inte addera, utan subtrahera den kända katetens kvadrat från hypotenusans kvadrat.

Anta att hypotenusan är 13 och en katet är 5. Den okända kateten kallas b.

5² + b² = 13²

Räkna stegvis:

1. Kvadrera de kända talen: 25 + b² = 169.
2. Subtrahera 25: b² = 144.
3. Ta roten ur: b = √144 = 12.

Den okända kateten är 12. Ett bra sätt att hålla ordning är att först kontrollera vilken sida som är hypotenusan. Hypotenusan ska vara c i formeln och är längre än varje enskild katet.

Kända tripplar sparar tid

En pythagoreisk trippel är tre heltal som uppfyller Pythagoras sats. Känner du igen en trippel kan du ofta få fram svaret utan att räkna kvadrater och roten ur från början.

Några användbara tripplar är:

• 3, 4, 5
• 5, 12, 13
• 7, 24, 25

Tripplarna går också att förstora med samma faktor. Om 3, 4 och 5 multipliceras med 2 får du 6, 8 och 10. Om samma trippel multipliceras med 3 får du 9, 12 och 15.

Ser du kateterna 9 och 12 kan du alltså känna igen 3–4–5-trippeln gånger 3 och direkt se att hypotenusan är 15. Samma faktor måste användas för alla tre sidor. Kontrollera också att uppgiften gäller en rätvinklig triangel innan du använder satsen.

Vanliga fel

Att välja fel hypotenusa. Hypotenusan är inte automatiskt den sida som ligger längst ned eller är ritad snett. Den är sidan mitt emot den räta vinkeln.

Att stanna vid c². Om beräkningen ger c² = 81 är 81 inte sidlängden. Du behöver ta roten ur och får c = √81 = 9.

Att använda fel räknesätt. Två kända kateter ska kvadreras och adderas när du söker hypotenusan. En känd katet ska i stället dras bort från hypotenusans kvadrat när du söker den andra kateten.

Så dyker det upp på högskoleprovet

Pythagoras sats kan vara relevant i XYZ, matematisk problemlösning. XYZ har 12 uppgifter per provpass, och UHR:s rekommenderade tid för dem är 12 minuter av passets 55, vilket gör det värdefullt att snabbt känna igen en rätvinklig triangel, välja rätt sida som hypotenusa och se om en trippel passar.

En uppgift kan visa en rätvinklig triangel direkt eller beskriva en situation där en diagonal blir hypotenusan. Ibland behöver du först plocka ut längder ur en text eller en figur och därefter avgöra om du ska addera eller subtrahera kvadraterna.

Miniräknare är inte tillåten på högskoleprovet, och formelsamling får inte tas med. Det är därför bra att träna på att:

• kvadrera vanliga heltal
• känna igen kvadrattal som 25, 100, 144 och 169
• ta roten ur efter att du har räknat fram en kvadrat
• komma ihåg tripplarna 3–4–5, 5–12–13 och 7–24–25

Du kan öva på kvantitativ problemlösning med övningsuppgifter i tre svårighetsgrader. På exempeluppgifter med facit kan du också kontrollera hur olika uppgifter kan lösas.

Tre övningsuppgifter i provets format

Uppgifterna följer XYZ:s upplägg med fyra alternativ. Lös utan miniräknare och ta tid — omkring en minut per uppgift är provets tempo.

Uppgift 1. En rätvinklig triangel har kateterna 5 cm och 12 cm. Hur lång är hypotenusan?

• A) 13 cm
• B) 15 cm
• C) 17 cm
• D) 19 cm

Visa lösning

Rätt svar: A. Använd a² + b² = c²: 5² + 12² = c². Det blir 25 + 144 = 169, så c = √169 = 13. Du kan också känna igen trippeln 5, 12, 13.

Uppgift 2. En rätvinklig triangel har hypotenusan 15 cm och ena kateten 9 cm. Hur lång är den andra kateten?

• A) 6 cm
• B) 10 cm
• C) 12 cm
• D) 18 cm

Visa lösning

Rätt svar: C. När hypotenusan är känd subtraherar du: b² = 15² − 9². Det blir 225 − 81 = 144, alltså b = √144 = 12. Triangeln är 3–4–5-trippeln gånger 3.

Uppgift 3. En rätvinklig triangel har kateterna 14 cm och 48 cm. Hur lång är hypotenusan?

• A) 50 cm
• B) 52 cm
• C) 56 cm
• D) 62 cm

Visa lösning

Rätt svar: A. Räkna c² = 14² + 48² = 196 + 2 304 = 2 500. Alltså är c = √2 500 = 50. Sidlängderna är också trippeln 7, 24, 25 gånger 2.

Vanliga frågor

Vilken sida är hypotenusan?

Hypotenusan är sidan mitt emot den räta vinkeln i en rätvinklig triangel. Hypotenusan är alltid längre än var och en av kateterna.

När ska jag addera och när ska jag subtrahera i Pythagoras sats?

Addera kateternas kvadrater när du söker hypotenusan: a² + b² = c². Subtrahera en katets kvadrat från hypotenusans kvadrat när du söker den andra kateten: b² = c² − a².

Måste jag kunna Pythagoras sats utantill på högskoleprovet?

Formelsamling får inte tas med på högskoleprovet. Formeln a² + b² = c² behöver därför sitta i huvudet om du ska använda den på provdagen.