Omkrets och area av en cirkel

Vad är omkrets och area av en cirkel?

En cirkel är en rund figur där kanten ligger lika långt från mittpunkten överallt. Avståndet från mittpunkten till kanten kallas radie och skrivs r. Sträckan rakt över cirkeln, från en kant till den andra genom mittpunkten, kallas diameter och skrivs d.

Radie och diameter hör alltid ihop:

• d = 2r
• r = d ÷ 2

Om radien är 4 är diametern 8. Om diametern är 18 är radien 9. Många cirkeluppgifter blir enklare direkt när du först markerar vilket av måtten uppgiften faktiskt ger.

Omkrets betyder längden runt figurens kant. För en cirkel finns två likvärdiga formler:

• O = 2πr
• O = πd

Formeln O = 2πr använder radien. Formeln O = πd använder diametern. Formlerna ger samma resultat eftersom diametern alltid är två radier.

Area betyder ytan inuti cirkeln. Formeln är:

A = πr²

Tecknet r² betyder r × r. En radie på 3 ger alltså 3² = 9, och cirkelns area blir 9π. Kvadraten är viktig: omkrets växer med radien, medan arean bygger på radien multiplicerad med sig själv.

Talet π, som uttalas pi, används i alla cirkelberäkningar. När ett decimalvärde behövs räcker π ≈ 3,14. Svarsalternativen på högskoleprovet anges ofta i π, till exempel 16π. Då är det ofta snabbast att behålla π i svaret i stället för att räkna ut en decimal.

Exempel: En cirkel har radien 5. Omkretsen är O = 2πr = 2 × π × 5 = 10π. Arean är A = πr² = π × 5² = 25π. Samma radie ger alltså olika tal beroende på om frågan gäller längden runt kanten eller ytan inuti.

Så räknar du

Börja med att läsa vad uppgiften frågar efter. Ord som runt, kant och längd brukar handla om omkrets. Ord som yta och innanför brukar handla om area. Kontrollera sedan om uppgiften ger radien eller diametern.

En bra ordning är:

1. Skriv upp det mått du får: r eller d.
2. Byt till rätt mått om formeln kräver det. Använd d = 2r eller r = d ÷ 2.
3. Välj formeln för omkrets eller area.
4. Räkna ut kvadraten först om du använder areaformeln.
5. Behåll π i svaret om svarsalternativen är skrivna så.

Exempel: En cirkel har diametern 12. Vad är arean?

Arean kräver radien. Diametern 12 ger radien r = 12 ÷ 2 = 6. Sätt sedan in 6 i areaformeln:

A = πr² = π × 6² = 36π

Arean är 36π. Ett svar som 144π visar ofta att diametern 12 har använts som radie av misstag.

En halvcirkel är hälften av en hel cirkel. Arean av en halvcirkel är därför:

A = ½ × πr²

Om hela cirkelns area är 36π är halvcirkelns area 18π. Om uppgiften i stället frågar efter halvcirkelns omkrets behöver både den böjda och den raka kanten räknas med. Den böjda kanten är hälften av den vanliga omkretsen, alltså πr. Den raka kanten är diametern, 2r. Halvcirkelns omkrets blir därför πr + 2r.

En cirkelsektor är en tårtbitsformad del av en cirkel. En sektor på 90° är en fjärdedel av en hel cirkel, eftersom ett helt varv är 360°. Sektorns area är samma andel av hela cirkelns area. För en sektor på 90° med radien 4 blir hela cirkelns area 16π, och sektorns area blir ¼ × 16π = 4π.

Samma tankesätt fungerar för andra sektorer. En sektor på 180° är en halvcirkel och har hälften av den hela cirkelns area. Börja alltid med att avgöra hur stor andel sektorn är av en hel cirkel.

Vanliga fel

Att blanda ihop radie och diameter. Diametern är dubbelt så lång som radien. Felet blir extra stort i areafrågor eftersom radien ska kvadreras.

Att glömma kvadraten i areaformeln. A = πr² är inte samma sak som πr. När r = 4 blir r² = 16, så arean är 16π och inte 4π.

Att missa den raka kanten på en halvcirkel. Hälften av cirkelns omkrets räcker bara när frågan gäller den böjda bågen. Hela figurens omkrets inkluderar också diametern.

Så dyker det upp på högskoleprovet

Cirkelberäkningar kan förekomma i XYZ, delprovet för matematisk problemlösning. XYZ har 12 uppgifter per provpass, och UHR:s rekommenderade tid för dem är 12 minuter av passets 55, vilket ger omkring en minut per uppgift. Uppgifterna har fyra svarsalternativ, A–D.

En uppgift om cirklar kan exempelvis be dig att:

• räkna omkrets från en radie eller diameter,
• räkna area och hålla kvar π i svaret,
• jämföra en hel cirkel med en halvcirkel,
• avgöra hur stor area en cirkelsektor har.

Miniräknare är inte tillåten på högskoleprovet, och formelsamling får inte tas med. Därför behöver formlerna O = 2πr, O = πd och A = πr² sitta i huvudet. Du kan träna vidare med övningar, exempeluppgifter med facit och guiden till XYZ.

Tre övningsuppgifter i provets format

Uppgifterna följer XYZ:s upplägg med fyra alternativ. Lös utan miniräknare och ta tid — omkring en minut per uppgift är provets tempo.

Uppgift 1. En cirkel har radien 4. Vilken är cirkelns omkrets?

• A) 4π
• B) 8π
• C) 16π
• D) 32π

Visa lösning

Rätt svar: B. Omkretsen räknas med O = 2πr. När r = 4 blir O = 2 × π × 4 = 8π.

Uppgift 2. En cirkel har diametern 10. Vilken är cirkelns area?

• A) 10π
• B) 20π
• C) 25π
• D) 100π

Visa lösning

Rätt svar: C. Radien är hälften av diametern, alltså r = 10 ÷ 2 = 5. Arean blir A = πr² = π × 5² = 25π.

Uppgift 3. En cirkelsektor är 120° och har radien 6. Vilken är sektorns area?

• A) 6π
• B) 9π
• C) 12π
• D) 18π

Visa lösning

Rätt svar: C. 120° är en tredjedel av 360°, så sektorn är en tredjedel av en hel cirkel. Hela cirkelns area är π × 6² = 36π, och ⅓ × 36π = 12π.

Vanliga frågor

Vad är skillnaden mellan radie och diameter?

Radien går från cirkelns mittpunkt till kanten. Diametern går från kant till kant genom mittpunkten och är dubbelt så lång som radien.

Ska jag skriva svaret med π eller 3,14?

Svarsalternativen på högskoleprovet anges ofta i π, exempelvis 12π. Använd 3,14 när uppgiften eller svarsalternativen kräver ett decimalvärde.

Får jag använda miniräknare eller formelsamling på högskoleprovet?

Nej. Miniräknare är inte tillåten och formelsamling får inte tas med, så formlerna behöver sitta i huvudet.