Potenslagar: regler, exempel och övningar

Vad är en potens?

En potens är ett kort sätt att skriva upprepad multiplikation. I uttrycket 2³ är 2 basen och 3 exponenten. Exponenten visar hur många faktorer som ska multipliceras med varandra: 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.

Basen är talet som upprepas. Exponenten är den lilla siffran uppe till höger. Exempelvis är 5² = 5 × 5 = 25, medan 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Det är alltså viktigt att läsa både basen och exponenten noga innan du börjar räkna.

Potenslagarna gör det möjligt att förenkla uttryck utan att först skriva ut alla faktorer. De viktigaste lagarna fungerar när potenserna har samma bas.

Så räknar du

Börja med tre frågor:

1. Har potenserna samma bas?
2. Är det multiplikation, division eller en potens i parentes?
3. Behöver svaret skrivas som ett vanligt tal, ett bråk eller en tiopotens?

Multiplikation av potenser

Vid multiplikation med samma bas adderar du exponenterna:

a^m × a^n = a^(m + n)

Exempel: 3² × 3⁴ = 3^(2 + 4) = 3⁶ = 729.

Varför fungerar regeln? 3² innehåller två faktorer 3 och 3⁴ innehåller fyra faktorer 3. Tillsammans finns sex faktorer 3. Regeln gäller inte om baserna är olika. Du kan alltså inte förenkla 2³ × 3³ genom att addera exponenterna.

Division av potenser

Vid division med samma bas subtraherar du exponenten i nämnaren från exponenten i täljaren:

a^m ÷ a^n = a^(m − n)

Exempel: 5⁶ ÷ 5² = 5^(6 − 2) = 5⁴ = 625.

Ett sätt att se regeln är att två faktorer 5 i täljaren förkortas bort mot de två faktorerna 5 i nämnaren. Ordningen spelar roll: täljarens exponent kommer först och nämnarens exponent dras bort.

Potens av potens

När en potens står i parentes och hela uttrycket upphöjs till en ny exponent multiplicerar du exponenterna:

(a^m)^n = a^(m × n)

Exempel: (2³)⁴ = 2^(3 × 4) = 2¹² = 4 096.

Parentesen är viktig. (2³)⁴ betyder att 2³ multipliceras med sig självt fyra gånger. Då blir det sammanlagt 3 + 3 + 3 + 3, alltså 12 faktorer 2.

Negativ exponent

En negativ exponent innebär inte att svaret blir negativt. En negativ exponent betyder i stället att potensen kan skrivas som ett bråk:

a^−n = 1/a^n

Exempel: 4⁻² = 1/4² = 1/16.

Ett minus framför exponenten visar alltså att potensen hamnar i nämnaren. Exempelvis är 10⁻³ = 1/10³ = 1/1 000 = 0,001.

Exponenten noll

Ett tal som inte är 0 upphöjt till 0 är 1:

a^0 = 1

Exempel: 9⁰ = 1.

Regeln syns i divisionen 9⁴ ÷ 9⁴. Samma tal delat med sig självt är 1, samtidigt som divisionslagen ger 9^(4 − 4) = 9⁰. Därför är 9⁰ = 1. Regeln används inte för 0⁰.

Tiopotenser och grundpotensform

Tiopotenser är potenser med basen 10. Positiva exponenter ger stora tal: 10⁴ = 10 000. Negativa exponenter ger små tal: 10⁻⁴ = 0,0001.

Grundpotensform skriver ett tal som a × 10ⁿ, där a är minst 1 och mindre än 10. Exempel: 63 000 = 6,3 × 10⁴. Talet 6,3 flyttas fyra steg åt höger för att bli 63 000.

Ett litet tal kan skrivas på samma sätt: 0,00072 = 7,2 × 10⁻⁴. Decimaltecknet flyttas fyra steg åt höger för att få 7,2, vilket ger exponenten −4.

Ett exempel med flera lagar är (2⁵ × 2⁻²) ÷ 2. Skriv först 2 som 2¹. Addera exponenterna vid multiplikationen och subtrahera exponenten vid divisionen: 2^(5 − 2 − 1) = 2² = 4.

Lagarna för division och negativ exponent förutsätter att basen inte är 0 — man kan inte dela med noll, och 0⁻ⁿ är inte definierat.

Vanliga fel

• Att addera exponenter trots olika baser. Regeln a^m × a^n = a^(m + n) kräver samma bas. Uttrycket 2² × 3² blir 4 × 9 = 36, inte 6⁴.
• Att tolka negativ exponent som ett negativt tal. 3⁻² är 1/9, inte −9.
• Att glömma parentesen. (2³)² blir 2⁶. Uttrycket 2 upphöjt till 3², alltså 2⁹, betyder något annat: där hör exponenten 3² till basen 2.

Så dyker det upp på högskoleprovet

Potenser kan förekomma i XYZ, det kvantitativa delprovet i matematisk problemlösning. XYZ har 12 uppgifter per provpass, och UHR:s rekommenderade tid för dem är 12 minuter av passets 55. Uppgifterna har fyra svarsalternativ, A–D, så det är värdefullt att snabbt kunna se vilken potenslag som passar.

En uppgift kan exempelvis handla om att:

• förenkla ett uttryck med samma bas,
• skriva om en negativ exponent till ett bråk,
• jämföra tal med olika exponenter,
• tolka eller räkna med tiopotenser och grundpotensform.

Miniräknare är inte tillåten på högskoleprovet, och du får inte ta med en formelsamling. Det gör igenkänning viktig: läs baserna först, välj regel och räkna sedan. Detaljerade strategier och fler övningar finns i Den kompletta guiden till högskoleprovet och i den digitala utbildningen Hopp. Du kan också träna med uppgifter i tre svårighetsgrader på övningar och se uppgifter med facit på exempeluppgifter.

Tre övningsuppgifter i provets format

Uppgifterna följer XYZ:s upplägg med fyra alternativ. Lös utan miniräknare och ta tid — omkring en minut per uppgift är provets tempo.

Uppgift 1. Vad är värdet av 2⁴ × 2³?

• A) 32
• B) 64
• C) 128
• D) 256

Visa lösning

Rätt svar: C. Baserna är samma, så exponenterna adderas: 2⁴ × 2³ = 2⁷. Eftersom 2⁷ = 128 är alternativ C rätt.

Uppgift 2. Vad är värdet av (3²)³ ÷ 3⁴?

• A) 3
• B) 9
• C) 27
• D) 81

Visa lösning

Rätt svar: B. Potens av potens ger (3²)³ = 3⁶. Vid division subtraheras exponenterna: 3⁶ ÷ 3⁴ = 3² = 9.

Uppgift 3. Vilket uttryck är lika med (6 × 10⁴) ÷ (3 × 10⁻²)?

• A) 2 × 10²
• B) 2 × 10⁶
• C) 18 × 10²
• D) 18 × 10⁶

Visa lösning

Rätt svar: B. Först delas talen framför tiopotenserna: 6 ÷ 3 = 2. Vid division av tiopotenser subtraheras exponenterna: 10⁴ ÷ 10⁻² = 10^(4 − (−2)) = 10⁶.

Vanliga frågor

Vad betyder en negativ exponent?

En negativ exponent betyder att potensen kan skrivas som ett bråk. Exempelvis är 5⁻² = 1/5² = 1/25.

Varför är ett tal upphöjt till 0 lika med 1?

Ett tal som inte är 0 upphöjt till 0 är 1. Exempelvis är 7⁰ = 1, vilket följer av att 7³ ÷ 7³ både är 1 och kan skrivas som 7^(3 − 3).

Får jag använda miniräknare på högskoleprovet?

Nej. Miniräknare är inte tillåten på högskoleprovet, och formelsamling får inte tas med.