Primtal: vad de är och hur du känner igen dem

Vad är ett primtal?

Ett primtal är ett positivt heltal större än 1 som har exakt två positiva delare: 1 och talet självt. Talet 7 är ett primtal, eftersom 7 går jämnt att dela bara med 1 och 7. Talet 8 är inte ett primtal, eftersom 8 också är delbart med 2 och 4.

Talet 1 är inte ett primtal. Det har bara en positiv delare, nämligen 1. Ett primtal måste däremot ha två delare. Det minsta primtalet är 2, och 2 är också det enda jämna primtalet. Alla andra jämna tal går att dela med 2 och har därför fler än två delare.

Alla udda tal är inte primtal. Exempelvis är 9 udda, men 9 = 3 × 3. Även 15 är udda, men 15 = 3 × 5. Att ett tal är udda är alltså bara ett första urval, inte ett bevis för att talet är ett primtal.

Letar du efter en primtalslista? Här är alla primtal upp till 100:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 och 97.

De minsta primtalen är särskilt bra att känna igen: 2, 3, 5, 7, 11 och 13. De räcker ofta långt när du behöver undersöka delbarhet, dela upp tal i faktorer eller förenkla ett bråk.

Så räknar du

Frågan vad är ett primtal kan besvaras med definitionen: om talet går att dela jämnt med något annat än 1 och talet självt, är talet inte ett primtal. För mindre tal kan du ofta kontrollera detta direkt. För större tal finns en metod som sparar tid.

Du behöver bara testa om talet är delbart med primtal upp till roten ur talet. Om inget av dessa primtal delar talet jämnt, är talet ett primtal. Anledningen är att ett sammansatt tal kan skrivas som två faktorer. Om båda faktorerna hade varit större än roten ur talet, skulle produkten bli för stor. Minst en faktor måste alltså vara mindre än eller lika med roten ur talet.

Så testar du om 97 är ett primtal:

1. √97 är mindre än 10, eftersom 10 × 10 = 100.
2. Testa därför primtalen upp till 10: 2, 3, 5 och 7.
3. 97 är inte jämnt och är alltså inte delbart med 2.
4. Siffersumman är 9 + 7 = 16, vilket inte är delbart med 3.
5. 97 slutar inte på 0 eller 5 och är därför inte delbart med 5.
6. 97 ÷ 7 går inte jämnt upp.

Inget primtal upp till √97 delar 97. Alltså är 97 ett primtal. Du behöver inte testa 11, 13 eller större tal.

Primtalsfaktorisering betyder att skriva ett tal som en produkt av primtal. Börja med den minsta primfaktorn som delar talet och fortsätt tills alla faktorer är primtal. Exempelvis kan 180 delas upp så här:

180 = 2 × 90 = 2 × 2 × 45 = 2² × 3 × 15 = 2² × 3² × 5.

Primtalsfaktoriseringen av 180 är alltså 2² × 3² × 5. Vägen kan se olika ut om du börjar dela talet på ett annat sätt, men den färdiga uppdelningen i primfaktorer blir densamma.

Primtalsfaktorisering är användbar när du förkortar bråk. Ta bråket 18/42. Skriv först talen som primfaktorer:

18 = 2 × 3²

42 = 2 × 3 × 7

Faktorerna 2 och 3 finns både i täljaren och nämnaren. När de tas bort återstår 3/7. Du förkortar alltså med 2 × 3, vilket är 6. Att se faktorerna var för sig gör det tydligt varför förkortningen fungerar.

Metoden hjälper också när du ska hitta minsta gemensamma nämnare. Jämför 1/12 och 1/18. Faktorisera nämnarna:

12 = 2² × 3

18 = 2 × 3²

Den minsta gemensamma nämnaren måste innehålla två tvåor och två treor, eftersom det är det största antalet av varje primfaktor som behövs. Produkten blir 2² × 3² = 36. Därför är 36 delbart med både 12 och 18.

Vanliga fel

• Att räkna 1 som ett primtal. Talet 1 har bara en positiv delare, inte två.
• Att tro att udda tal alltid är primtal. Tal som 9, 15 och 21 är udda men kan delas med andra tal än 1 och sig själva.
• Att testa för många delare. När du undersöker 97 behöver du bara testa primtal upp till √97, inte alla mindre tal och inte tal större än 10.
• Att förkorta enskilda termer i en addition. Faktorer kan förkortas mellan täljare och nämnare, men inte delar som är ihopbundna med plus eller minus utan att uttrycket först har skrivits om.

Ett annat vanligt slarvfel är att missa en upprepad primfaktor. Talet 36 är inte bara 2 × 3², utan 2² × 3². Exponenten visar hur många gånger faktorn finns med, vilket spelar roll när du letar efter en minsta gemensam nämnare.

Så dyker det upp på högskoleprovet

Primtal och faktorer hör främst hemma i XYZ – matematisk problemlösning. XYZ har 12 uppgifter per provpass, och UHR:s rekommenderade tid för dem är 12 minuter av passets 55, så det finns ungefär en minut per uppgift. En säker rutin för små primtal, faktorer och bråk kan göra det lättare att komma vidare utan långa uträkningar.

En XYZ-uppgift kan till exempel handla om att:

• avgöra om ett tal är ett primtal,
• hitta primtalsfaktoriseringen av ett tal,
• förkorta ett bråk med gemensamma faktorer,
• hitta minsta gemensamma nämnare,
• jämföra uttryck där samma primfaktorer förekommer i olika form.

XYZ-uppgifter har fyra svarsalternativ, A–D. Miniräknare är inte tillåten på högskoleprovet, och någon formelsamling får inte tas med. Reglerna om hjälpmedel finns på sidan om högskoleprovets regler.

Börja gärna med att faktorisera mindre tal utan tidspress. När grunden sitter kan du öva på att se gemensamma faktorer i bråk och uttryck. På /ovningar finns övningsuppgifter i tre svårighetsgrader, och på /exempeluppgifter finns uppgifter med facit. Guiden om XYZ ger mer sammanhang om delprovet.

Tre övningsuppgifter i provets format

Uppgifterna följer XYZ:s upplägg med fyra alternativ. Lös utan miniräknare och ta tid — omkring en minut per uppgift är provets tempo.

Uppgift 1. Vilket av följande tal är ett primtal?

• A) 51
• B) 57
• C) 59
• D) 63

Visa lösning

Rätt svar: C. 51, 57 och 63 är delbara med 3 eftersom deras siffersummor är delbara med 3. √59 är mindre än 8, så det räcker att testa 2, 3, 5 och 7. Talet 59 delas inte jämnt av något av dem och är därför ett primtal.

Uppgift 2. Vilken är primtalsfaktoriseringen av 84?

• A) 2² × 3 × 7
• B) 2 × 3² × 7
• C) 2² × 3 × 5
• D) 2 × 3 × 7²

Visa lösning

Rätt svar: A. 84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21. Eftersom 21 = 3 × 7 blir faktoriseringen 2 × 2 × 3 × 7, alltså 2² × 3 × 7.

Uppgift 3. Vilket tal är den minsta gemensamma nämnaren för bråken 3/28 och 7/45?

• A) 140
• B) 315
• C) 630
• D) 1 260

Visa lösning

Rätt svar: D. 28 = 2² × 7 och 45 = 3² × 5. Den minsta gemensamma nämnaren ska ha med varje primfaktor med högsta förekommande exponent: 2² × 3² × 5 × 7. Produkten är 1 260.

Vanliga frågor

Är 1 ett primtal?

Nej. Ett primtal måste ha exakt två positiva delare, 1 och talet självt. Talet 1 har bara en positiv delare.

Vilket är det enda jämna primtalet?

Talet 2 är det enda jämna primtalet. Alla andra jämna tal är delbara med både 1, 2 och talet självt.

Hur vet man snabbt om ett tal inte är ett primtal?

Undersök om talet är jämnt, om siffersumman är delbar med 3 eller om talet slutar på 0 eller 5. För tal större än 2, 3 och 5 visar någon av dessa kontroller att talet inte är ett primtal.