Roten ur och kvadratrot – så räknar du
Kort svar
Kvadratroten ur ett tal är det icke-negativa tal som multiplicerat med sig självt ger talet under rottecknet. Kvadrattal upp till 225 gör det snabbare att känna igen många rötter utan miniräknare. Begreppet hör till den grundläggande matematik som högskoleprovets kvantitativa delprov bygger på.
Vad är roten ur?
Roten ur, som också kallas kvadratrot, är motsatsen till att kvadrera ett tal. Att kvadrera betyder att multiplicera talet med sig självt. Exempelvis är 7² = 7 × 7 = 49. Därför är √49 = 7.
Tecknet √ läses ”roten ur”. När du ser √81 söker du talet som blir 81 när det multipliceras med sig självt. Eftersom 9 × 9 = 81 är √81 = 9.
En viktig detalj är att kvadratroten anges som det icke-negativa talet. Därför är √49 = 7, inte −7. Däremot kan både 7 och −7 vara lösningar till ekvationen x² = 49, eftersom både 7 × 7 och −7 × −7 är 49.
Tal som bildas när ett heltal multipliceras med sig självt kallas kvadrattal. Följande kvadrattal upp till 225 är särskilt bra att kunna utantill:
- 1² = 1
- 2² = 4
- 3² = 9
- 4² = 16
- 5² = 25
- 6² = 36
- 7² = 49
- 8² = 64
- 9² = 81
- 10² = 100
- 11² = 121
- 12² = 144
- 13² = 169
- 14² = 196
- 15² = 225
Listan hjälper åt två håll. Du kan snabbt se att √144 = 12, men också att 13² = 169 när en uppgift innehåller 13 × 13.
Så räknar du
Börja med att undersöka om talet under rottecknet är ett kvadrattal. Är talet ett kvadrattal kan du skriva svaret direkt. √121 = 11 eftersom 11² = 121.
Om talet inte är ett kvadrattal kan du ofta dela upp talet i faktorer. För icke-negativa tal gäller regeln:
√(a × b) = √a × √b
Regeln är användbar när en av faktorerna är ett kvadrattal. Ta √72 som exempel:
- Dela upp 72 i 36 × 2.
- Skriv om uttrycket: √72 = √(36 × 2).
- Dela upp roten: √36 × √2.
- Eftersom √36 = 6 blir svaret 6√2.
Du behöver inte alltid räkna fram ett decimaltal. Formen 6√2 är exakt och kan räcka för att förenkla ett uttryck eller jämföra svarsalternativ.
Rötter kan också uppskattas med hjälp av kvadrattalen. För att bedöma √70 ser du att 64 < 70 < 81. Eftersom √64 = 8 och √81 = 9 måste √70 ligga mellan 8 och 9. Talet 70 ligger närmare 64 än 81, så √70 ligger närmare 8 än 9.
Samma idé fungerar när du jämför rötter. För positiva tal ger ett större tal under rottecknet också en större kvadratrot. Eftersom 49 är mindre än 64 är √49 mindre än √64, alltså 7 < 8.
I ekvationer behöver du vara extra uppmärksam på om en variabel är kvadrerad. Exempelvis:
x² = 36
Frågan är vilka tal som blir 36 när de multipliceras med sig själva. Svaret är x = 6 eller x = −6. Båda stämmer, eftersom 6² = 36 och (−6)² = 36.
Om ekvationen i stället är √x = 6 blir svaret x = 36. Kvadratroten ur x ska vara 6, vilket betyder att x måste vara 6².
Vanliga fel
Det vanligaste felet är att blanda ihop √49 med lösningarna till x² = 49. Kvadratroten √49 är 7. Ekvationen x² = 49 har däremot två lösningar: 7 och −7.
En annan fälla är att försöka dela upp addition inne i en rot. Följande är inte en giltig regel:
√(a + b) ≠ √a + √b
Ett exempel visar varför: √(9 + 16) = √25 = 5. Men √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Multiplikation kan delas upp enligt √(a × b) = √a × √b, men addition fungerar inte på samma sätt.
Ett tredje misstag är att använda fel kvadrattal vid en uppskattning. Vid √150 är 144 och 169 de närmaste kvadrattalen. Eftersom √144 = 12 och √169 = 13 ligger √150 mellan 12 och 13.
Så dyker det upp på högskoleprovet
Roten ur är ett viktigt begrepp på de kvantitativa delproven, till exempel på XYZ. XYZ har 12 uppgifter per provpass, och UHR:s rekommenderade tid för dem är 12 minuter av passets 55, vilket ger omkring en minut per uppgift. Varje XYZ-uppgift har fyra svarsalternativ, A–D.
Rötter kan förekomma i uppgifter där du behöver:
- känna igen ett kvadrattal, exempelvis √144
- förenkla en rot, exempelvis √(36 × 2)
- avgöra mellan vilka heltal en rot ligger
- lösa en enkel ekvation med x² eller √x
- jämföra uttryck som innehåller kvadrattal och rötter
Miniräknare och formelsamling är inte tillåtna på högskoleprovet. Därför sparar det tid att känna igen kvadrattalen utan att räkna fram dem från början. Läs mer om formatet i guiden till XYZ, träna med uppgifter i tre svårighetsgrader på övningssidan eller använd exempeluppgifter med facit för att se hur flervalsfrågor är uppbyggda. Detaljerade strategier och övningar finns i Den kompletta guiden till högskoleprovet och den digitala utbildningen Hopp.
Tre övningsuppgifter i provets format
Uppgifterna följer XYZ:s upplägg med fyra alternativ. Lös utan miniräknare och ta tid — omkring en minut per uppgift är provets tempo.
Uppgift 1. Vad är värdet av √(144 ÷ 9)?
- A) 4
- B) 12
- C) 16
- D) 36
Visa lösning
Rätt svar: A. Börja med divisionen: 144 ÷ 9 = 16. Sedan är √16 = 4, eftersom 4 × 4 = 16.
Uppgift 2. Vilket av följande tal är en lösning till ekvationen x² = 81?
- A) −8
- B) −9
- C) 0
- D) 9²
Visa lösning
Rätt svar: B. Ekvationen söker ett tal som blir 81 när det kvadreras. (−9)² = 81, eftersom −9 × −9 = 81. Alternativet 9² är talet 81, och 81² = 6 561, inte 81 — så det är inte en lösning.
Uppgift 3. Vad är värdet av √(12 × 27)?
- A) 9
- B) 12
- C) 18
- D) 36
Visa lösning
Rätt svar: C. Dela upp faktorerna: 12 × 27 = 4 × 3 × 3 × 9. Då blir √(4 × 3 × 3 × 9) = √(36 × 9) = 6 × 3 = 18.
Vanliga frågor
Vad är skillnaden mellan roten ur och en ekvation med x²?
√49 betyder den icke-negativa kvadratroten och är därför 7. Ekvationen x² = 49 söker alla tal som ger 49 vid kvadrering, vilket ger x = 7 eller x = −7.
Vilka kvadrattal bör jag kunna?
Det är bra att kunna kvadrattalen från 1² = 1 till 15² = 225. Då känner du igen vanliga rötter som √64, √121 och √196 snabbare.
Kan jag dela upp alla rötter?
Du kan använda √(a × b) = √a × √b för multiplikation. Regeln gäller inte för addition: √(a + b) är inte samma sak som √a + √b.
