Räkna ut sannolikhet – regler och exempel

Vad är sannolikhet?

Sannolikhet beskriver chansen att något ska hända. När alla möjliga utfall har samma chans att inträffa kan du använda grundregeln:

sannolikhet = antal gynnsamma utfall ÷ antal möjliga utfall

Gynnsamma utfall är de resultat som frågan söker. Om du slår en vanlig tärning och vill få ett tal som är större än 4, är 5 och 6 gynnsamma utfall. Det finns sex möjliga utfall totalt. Sannolikheten är alltså 2/6, vilket förkortas till 1/3.

En sannolikhet kan skrivas som bråk, decimal eller procent. Bråket 1/3 är ungefär 0,33 och ungefär 33 %. Bråket 1/2 är 0,5 eller 50 %. Att kunna växla mellan formerna gör det lättare att jämföra med svarsalternativen i en uppgift.

Grundregeln bygger på att utfallen är lika sannolika. Vid ett vanligt tärningskast är de sex utfallen lika sannolika. När du drar en kula ur en påse fungerar samma idé, om varje kula har samma möjlighet att dras. Börja därför med att fråga: Hur många möjliga utfall finns, och vilka av dem uppfyller villkoret?

Så räknar du

Många sannolikhetsuppgifter blir tydligare när du delar upp dem i små steg:

1. Skriv vad händelsen är.
2. Räkna möjliga utfall och gynnsamma utfall.
3. Avgör om frågan gäller en händelse, två händelser i följd eller minst en gång.
4. Kontrollera om förutsättningarna ändras efter första steget.
5. Förkorta bråket om det går och jämför med svarsalternativen.

Anta att en låda innehåller 3 svarta och 5 vita kulor. Två kulor dras utan återläggning. Vad är sannolikheten att minst en kula är svart?

Att räkna alla fall med en eller två svarta kulor går, men komplementhändelsen är smidigare. Komplementhändelsen till minst en svart kula är att ingen kula är svart, alltså att båda kulorna är vita.

Sannolikheten att första kulan är vit är 5/8. Kulan läggs inte tillbaka, så därefter finns 4 vita kulor kvar av totalt 7 kulor. Sannolikheten för två vita kulor i följd är därför:

5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14

Sannolikheten för minst en svart kula blir hela sannolikheten minus sannolikheten för inga svarta kulor:

1 - 5/14 = 9/14

Komplementregeln kan skrivas så här:

P(händelsen) = 1 - P(komplementhändelsen)

Komplement är särskilt användbart när frågan innehåller ord som minst en, åtminstone en eller inte någon. I stället för att räkna flera möjliga gynnsamma fall kan du ibland räkna det enda motsatta fallet och dra bort från 1.

När två händelser båda måste inträffa multiplicerar du sannolikheterna. Om händelserna är oberoende påverkar den första inte den andra. Ett nytt kast med ett mynt påverkas exempelvis inte av ett tidigare kast. Då använder du samma sannolikhet i båda leden:

P(A och B) = P(A) × P(B)

Dragning utan återläggning är annorlunda. När en kula har tagits bort finns färre kulor kvar, och färgfördelningen kan också ha ändrats. Sannolikheten i andra dragningen behöver därför räknas om. Vid dragning med återläggning läggs föremålet tillbaka, så förutsättningarna är desamma igen.

Vanliga fel

• Att blanda ihop täljare och nämnare. Gynnsamma utfall står överst i bråket. Alla möjliga utfall står underst. Om 3 av 8 kulor är röda är sannolikheten för röd kula 3/8, inte 8/3.
• Att glömma att båda händelserna ska ske. Vid två steg i följd, där båda resultat krävs, multiplicerar du. Att addera sannolikheterna ger inte sannolikheten för att båda händer.
• Att använda samma nämnare efter en dragning utan återläggning. Har en kula dragits bort är det totala antalet kulor mindre i nästa steg. Räkna därför om både hur många kulor som återstår och hur många av rätt sort som finns kvar.

Ett rimlighetstest kan fånga många slarvfel. En sannolikhet ligger mellan 0 och 1. I procent är gränserna 0 % och 100 %. Svaret 7/5 kan alltså inte vara sannolikheten för en vanlig händelse.

Så dyker sannolikhet upp på högskoleprovet

Sannolikhet kan förekomma i matematisk problemlösning på XYZ. XYZ har 12 uppgifter per provpass, och UHR:s rekommenderade tid för dem är 12 minuter av passets 55, vilket ger omkring en minut per uppgift. Varje XYZ-uppgift har fyra svarsalternativ, A–D.

En uppgift kan handla om exempelvis kulor, tärningar eller andra slumpmässiga val. Det viktiga är ofta att sortera informationen:

• Vad räknas som ett gynnsamt utfall?
• Hur många möjliga utfall finns?
• Ska två händelser båda inträffa?
• Förändras situationen efter första dragningen?

Miniräknare är inte tillåten på högskoleprovet och någon formelsamling får inte tas med. Därför behöver grundregeln, enkla bråk och skillnaden mellan oberoende händelser och dragning utan återläggning kännas igen direkt. Läs mer i guiden till XYZ och träna på övningar eller exempeluppgifter med facit. Detaljerade strategier och fler övningar finns i Den kompletta guiden till högskoleprovet och den digitala utbildningen Hopp.

Tre övningsuppgifter i provets format

Uppgifterna följer XYZ:s upplägg med fyra alternativ. Lös utan miniräknare och ta tid — omkring en minut per uppgift är provets tempo.

Uppgift 1. I en påse finns 2 gröna och 7 gula kulor. En kula dras slumpmässigt. Vad är sannolikheten att kulan är grön?

• A) 2/9
• B) 2/7
• C) 7/9
• D) 1/2

Visa lösning

Rätt svar: A. Det finns 9 kulor totalt och 2 av dem är gröna. Sannolikheten är därför 2/9.

Uppgift 2. En tärning kastas och ett mynt kastas samtidigt. Vad är sannolikheten att få en sexa och krona?

• A) 1/12
• B) 1/8
• C) 1/6
• D) 1/3

Visa lösning

Rätt svar: A. Sannolikheten för en sexa är 1/6 och sannolikheten för krona är 1/2. Händelserna är oberoende, så sannolikheten blir 1/6 × 1/2 = 1/12.

Uppgift 3. I en påse finns 4 gula och 3 svarta kulor. Två kulor dras utan återläggning. Vad är sannolikheten att båda kulorna är gula?

• A) 2/7
• B) 4/7
• C) 12/49
• D) 16/49

Visa lösning

Rätt svar: A. Sannolikheten att första kulan är gul är 4/7. Därefter återstår 3 gula av 6 kulor, så sannolikheten blir 4/7 × 3/6 = 12/42 = 2/7.

Vanliga frågor

Hur räknar man ut sannolikhet i procent?

Räkna först sannolikheten som ett bråk eller en decimal. Multiplicera decimalen med 100 för att få procent. Bråket 1/4 är 0,25 och alltså 25 %.

När ska man multiplicera sannolikheter?

Multiplicera när två händelser båda ska inträffa. Vid oberoende händelser är sannolikheten densamma i båda stegen, medan den kan ändras vid dragning utan återläggning.

Vad betyder komplementhändelse?

Komplementhändelsen är det motsatta till den händelse som frågan gäller. Sannolikheten för en händelse kan räknas som 1 minus sannolikheten för komplementhändelsen, vilket ofta hjälper vid frågor om minst en gång.