Area av en triangel – räkna med bas och höjd

Vad är area av en triangel?

Area beskriver hur stor yta en figur täcker. När du ska räkna ut arean på en triangel använder du formeln A = (b × h) ÷ 2. Bokstaven A står för area, b för bas och h för höjd.

Basen är den sida du väljer att utgå från. Höjden är sedan det vinkelräta avståndet från den motstående spetsen till basens linje. Vinkelrät betyder att höjden och basen bildar en vinkel på 90 grader. En sträcka som ser ut att gå från spetsen ner till basen är alltså inte alltid en höjd. Den måste vara vinkelrät.

En triangel med basen 8 cm och höjden 5 cm har arean (8 × 5) ÷ 2 = 20 cm². Svaret skrivs i kvadratenheter eftersom det handlar om en yta. Är bas och höjd angivna i meter blir arean m², och är de angivna i centimeter blir arean cm².

Att formeln innehåller division med 2 beror på sambandet med en rektangel. En triangel med samma bas och höjd som en rektangel täcker hälften av rektangelns yta. Rektangelns area är b × h, så triangelns area blir ½ × b × h.

Så räknar du

En enkel ordning minskar risken att missa något:

1. Välj vilken sida som ska vara bas.
2. Hitta höjden som är vinkelrät mot just den basen.
3. Multiplicera basen med höjden.
4. Dela produkten med 2.
5. Skriv svaret med rätt kvadratenhet om uppgiften använder enheter.

Anta att en triangel har basen 14 cm och höjden 6 cm. Börja med produkten 14 × 6 = 84. Dela sedan med 2: 84 ÷ 2 = 42. Triangelns area är alltså 42 cm².

Du kan också dela en av faktorerna med 2 först när det gör huvudräkningen smidigare. I exemplet går 14 ÷ 2 = 7, och sedan 7 × 6 = 42. Båda metoderna fungerar, eftersom A = (b × h) ÷ 2.

Höjden kan ligga utanför triangeln

I en spetsig triangel hamnar höjden ofta inne i triangeln. I en rätvinklig triangel kan en sida fungera som höjd. I en trubbvinklig triangel kan höjden däremot ligga utanför själva figuren.

Då förlänger du basens linje och tänker dig en vinkelrät linje från den motstående spetsen till förlängningen. Avståndet till basens linje är fortfarande höjden, trots att sträckan hamnar utanför triangeln. Formeln är exakt densamma.

I uppgifter med en figur är det därför viktigt att inte bara välja en synlig sned sträcka. Leta efter en markering som visar 90 grader, eller läs noga vilken sträcka som anges vara vinkelrät mot basen.

Rätvinkliga trianglar

En rätvinklig triangel har en vinkel på 90 grader. De två sidor som möts i den räta vinkeln kallas kateter. Eftersom kateterna är vinkelräta mot varandra kan du använda den ena som bas och den andra som höjd.

Om kateterna är 6 cm och 8 cm blir arean (6 × 8) ÷ 2 = 24 cm². Den längsta sidan i en rätvinklig triangel kallas hypotenusa. Hypotenusan kan inte direkt användas som höjd tillsammans med en katet, eftersom de två sidorna inte är vinkelräta mot varandra.

Ibland saknas en katet i uppgiften. Då kan sambandet a² + b² = c² användas, där c är hypotenusan. När båda kateterna är kända går det att räkna ut arean med den vanliga triangelformeln.

Vanliga fel

• Att glömma divisionen med 2. Produkten bas × höjd är arean av en rektangel med samma bas och höjd. En triangel täcker hälften så stor yta.
• Att välja fel höjd. Höjden ska alltid vara vinkelrät mot den bas du använder. En sned sida eller en sned sträcka är inte automatiskt en höjd.
• Att blanda ihop enhet för längd och area. Basen kan vara 8 cm, men en area skrivs exempelvis 20 cm². Kvadrattecknet visar att svaret gäller en yta.

Så dyker det upp på högskoleprovet

Triangelarea är en typ av matematik som kan användas i det kvantitativa delprovet XYZ. XYZ har 12 uppgifter per provpass, och UHR:s rekommenderade tid för dem är 12 minuter av passets 55. Det gör det användbart att känna igen direkt vilka mått som behövs: en bas, en vinkelrät höjd och division med 2.

Triangelarea kan också förekomma i KVA, där två kvantiteter ska jämföras. Då behöver du inte alltid räkna fram båda areorna helt. Formeln för båda trianglarna innehåller division med 2, så du kan jämföra produkterna bas × höjd.

Exempel: Triangel I har basen 10 och höjden 4. Triangel II har basen 8 och höjden 5. Produkterna är 10 × 4 = 40 och 8 × 5 = 40. Båda produkterna delas med 2, så trianglarna har lika stor area.

Det är särskilt relevant att träna på att:

• identifiera rätt höjd i en ritad figur,
• använda A = (b × h) ÷ 2 utan att missa divisionen,
• jämföra bas × höjd när två triangelareor ställs mot varandra,
• använda kateterna som bas och höjd i en rätvinklig triangel.

På övningar finns uppgifter i tre svårighetsgrader. Exempeluppgifter innehåller uppgifter med facit, och guiderna för XYZ och KVA ger en introduktion till delproven.

Tre övningsuppgifter i provets format

Uppgifterna följer XYZ:s upplägg med fyra alternativ. Lös utan miniräknare och ta tid — omkring en minut per uppgift är provets tempo.

Uppgift 1. En triangel har basen 12 cm och höjden 5 cm. Hur stor är triangelns area?

• A) 30 cm²
• B) 34 cm²
• C) 60 cm²
• D) 17 cm²

Visa lösning

Rätt svar: A. Använd A = (b × h) ÷ 2. Arean blir (12 × 5) ÷ 2 = 60 ÷ 2 = 30 cm².

Uppgift 2. En rätvinklig triangel har kateterna 7 cm och 8 cm. Hur stor är triangelns area?

• A) 15 cm²
• B) 28 cm²
• C) 30 cm²
• D) 56 cm²

Visa lösning

Rätt svar: B. Kateterna är vinkelräta mot varandra och kan användas som bas och höjd. Arean är (7 × 8) ÷ 2 = 56 ÷ 2 = 28 cm².

Uppgift 3. En rätvinklig triangel har hypotenusan 13 cm och en katet som är 5 cm. Hur stor är triangelns area?

• A) 25 cm²
• B) 30 cm²
• C) 36 cm²
• D) 60 cm²

Visa lösning

Rätt svar: B. Räkna först ut den andra kateten med a² + b² = c²: 5² + b² = 13². Då blir b² = 144 och b = 12. Arean är sedan (5 × 12) ÷ 2 = 30 cm².

Vanliga frågor

Vilken formel används för area av en triangel?

Formeln är A = (b × h) ÷ 2. Basen och höjden måste vara vinkelräta mot varandra.

Kan höjden ligga utanför en triangel?

Ja. I en trubbvinklig triangel kan den vinkelräta höjden hamna utanför själva triangeln, på en förlängning av basens linje.

Hur jämför man arean av två trianglar i KVA?

Jämför produkterna bas × höjd. Eftersom båda produkterna delas med 2 är areorna lika stora när produkterna är lika stora.