Pythagoras sats: så räknar du med trianglar

Vad är Pythagoras sats?

Pythagoras sats är en regel för rätvinkliga trianglar, alltså trianglar som har en vinkel på 90 grader. Regeln beskriver sambandet mellan triangelns tre sidor:

a² + b² = c²

Bokstäverna a och b står för de två sidor som möts i den räta vinkeln. De kallas kateter. Bokstaven c står för sidan mitt emot den räta vinkeln. Den sidan kallas hypotenusan och är alltid triangelns längsta sida.

Ett enkelt exempel är en triangel med kateterna 3 och 4. Då blir beräkningen:

3² + 4² = 5²
9 + 16 = 25

Eftersom 5² är 25 är hypotenusan 5. Sidlängderna 3, 4 och 5 bildar alltså en rätvinklig triangel.

Två sidkombinationer är särskilt användbara att känna igen:

• 3, 4, 5
• 5, 12, 13

För 5, 12 och 13 stämmer satsen eftersom 5² + 12² = 13², alltså 25 + 144 = 169. Kombinationer kan också förekomma i förstorad form. Exempelvis är 6, 8 och 10 en förstorad 3-4-5-triangel, eftersom varje sida har dubblerats.

Pythagoras sats fungerar bara för rätvinkliga trianglar. Kontrollera därför först om figuren har en rät vinkel. Hypotenusan är alltid sidan mitt emot den räta vinkeln, inte bara den sida som ser längst ut i en bild.

Så räknar du

Börja med att hitta den räta vinkeln och peka ut hypotenusan. Sätt sedan in de kända sidlängderna i formeln. Vilken beräkning du ska göra beror på vilken sida som saknas.

När hypotenusan saknas använder du:

c = √(a² + b²)

Du kvadrerar alltså båda kateterna, adderar resultaten och tar sedan kvadratroten.

När en katet saknas, men hypotenusan är känd, använder du:

a = √(c² − b²)

Den kända katetens kvadrat dras då bort från hypotenusans kvadrat.

Ett genomräknat exempel: En rätvinklig triangel har hypotenusan 13 och en katet 5. Hur lång är den andra kateten?

1. Skriv upp sambandet: a² + 5² = 13².
2. Räkna kvadraterna: a² + 25 = 169.
3. Dra bort 25: a² = 144.
4. Ta kvadratroten: a = √144 = 12.

Den saknade kateten är 12. Svaret går att kontrollera med 5² + 12² = 13².

Ordet kvadrat betyder att ett tal multipliceras med sig självt. Till exempel är 7² samma sak som 7 × 7, alltså 49. Tecknet √ betyder kvadratroten: vilket tal som multiplicerat med sig självt ger talet under rottecknet. Eftersom 12 × 12 = 144 är √144 = 12.

Pythagoras sats används ofta tillsammans med rektanglar. En diagonal delar en rektangel i två rätvinkliga trianglar. Om en rektangel är 5 lång och 12 bred blir diagonalen 13. Rektangelns sidor fungerar då som kateter och diagonalen som hypotenusa.

Vanliga fel

Att välja fel sida som hypotenusa. Hypotenusan ligger alltid mitt emot 90-gradersvinkeln. Den är aldrig en av de två sidor som bildar den räta vinkeln.

Att glömma kvadraterna. Formeln är inte a + b = c. Räkna först a² och b², och addera eller subtrahera därefter.

Att använda plus när en katet saknas. När hypotenusan och en katet är kända ska den kända katetens kvadrat dras bort: a² = c² − b². Hypotenusan är längst, så dess kvadrat måste vara det större talet i beräkningen.

En enkel rimlighetskontroll är att jämföra sidlängderna. En katet kan inte vara längre än hypotenusan. Om en beräkning ger en katet som är längre än hypotenusan behöver uppställningen ses över.

Så dyker det upp på högskoleprovet

Pythagoras sats kan vara relevant i de kvantitativa delproven XYZ, KVA och DTK. Uppgiften behöver inte nämna satsen vid namn. I stället kan en figur, karta eller rektangel innehålla en rätvinklig triangel som behöver kännas igen.

I XYZ kan en uppgift handla om en okänd sidlängd. XYZ har 12 uppgifter per provpass, och UHR:s rekommenderade tid för dem är 12 minuter av passets 55, vilket ger omkring en minut per uppgift. Alla XYZ-uppgifter har fyra svarsalternativ, så igenkänning av vanliga sidkombinationer kan vara användbar.

I KVA jämförs två kvantiteter. En kvantitet kan till exempel vara en diagonal och den andra ett tal. Pythagoras sats kan då hjälpa till att räkna fram eller bedöma diagonalens längd före jämförelsen. I KVA finns också svarsalternativet att informationen är otillräcklig.

I DTK kan en skiss, tabell eller karta innehålla längder som beskriver ett avstånd. En diagonal över en rektangulär yta kan exempelvis jämföras med en väg längs två sidor. Satsen är användbar när det finns en rät vinkel och två sidlängder är kända.

Det är bra att träna på att:

• hitta den räta vinkeln och hypotenusan
• skilja på när kvadrater ska adderas och subtraheras
• känna igen 3-4-5 och 5-12-13
• tolka diagonaler i rektanglar och enkla figurer

Du kan arbeta med uppgifter i tre svårighetsgrader på övningar och se uppgifter med facit på exempeluppgifter.

Tre övningsuppgifter i provets format

Uppgifterna följer XYZ:s upplägg med fyra alternativ. Lös utan miniräknare och ta tid — omkring en minut per uppgift är provets tempo.

Uppgift 1. En rätvinklig triangel har kateterna 3 cm och 4 cm. Hur lång är hypotenusan?

• A) 5 cm
• B) 6 cm
• C) 7 cm
• D) 8 cm

Visa lösning

Rätt svar: A. Använd a² + b² = c². Då blir 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Kvadratroten ur 25 är 5, så hypotenusan är 5 cm.

Uppgift 2. En rätvinklig triangel har hypotenusan 10 cm och en katet 6 cm. Hur lång är den andra kateten?

• A) 4 cm
• B) 6 cm
• C) 8 cm
• D) 16 cm

Visa lösning

Rätt svar: C. När hypotenusan är känd används subtraktion: a² = 10² − 6². Det blir 100 − 36 = 64. Eftersom √64 = 8 är den andra kateten 8 cm.

Uppgift 3. En likbent triangel har två lika långa sidor som är 13 cm och en bas som är 10 cm. Höjden från toppen delar basen i två lika stora delar och bildar två rätvinkliga trianglar. Hur stor är triangelns area?

• A) 48 cm²
• B) 50 cm²
• C) 60 cm²
• D) 120 cm²

Visa lösning

Rätt svar: C. Halva basen är 5 cm. Höjden blir √(13² − 5²) = √144 = 12 cm. Arean är ½ × 10 × 12 = 60 cm².

Vanliga frågor

Vad är hypotenusan?

Hypotenusan är sidan mitt emot den räta vinkeln i en rätvinklig triangel. Hypotenusan är alltid triangelns längsta sida.

När ska jag använda minus i Pythagoras sats?

Använd minus när hypotenusan och en katet är kända, men den andra kateten saknas. Beräkningen skrivs då som den okända katetens kvadrat = hypotenusans kvadrat − den kända katetens kvadrat.

Får man använda miniräknare för Pythagoras sats på högskoleprovet?

Nej, miniräknare är inte tillåten på högskoleprovet. Formelsamling får inte heller tas med, så formeln behöver sitta i huvudet.