Rektangel: omkrets, area och diagonal

Vad är en rektangel?

En rektangel är en fyrhörning med fyra räta vinklar. Motstående sidor är lika långa, vilket innebär att en rektangel har två sidor med längden a och två med längden b. Bokstäverna är bara namn på sidlängderna. Du kan kalla den längre sidan a och den kortare b, eller tvärtom, så länge du använder samma bokstav för samma sida genom hela beräkningen.

Två mått återkommer ofta i rektangeluppgifter:

• Omkrets är längden runt figurens ytterkant.
• Area är storleken på ytan inuti figuren.

En rektangel med sidorna 8 cm och 3 cm har omkretsen 8 + 3 + 8 + 3 = 22 cm. Samma rektangel har arean 8 × 3 = 24 cm². Omkrets anges alltså i längdenheter, exempelvis cm, medan area anges i kvadratenheter, exempelvis cm².

Formlerna är:

• Omkrets: 2(a + b)
• Area: a·b

Omkretsformeln kan först se onödigt kort ut, men den säger samma sak som att addera alla fyra sidor. Uttrycket a + b är en långsida och en kortsida. Multiplikationen med 2 tar med paret på andra sidan av rektangeln.

En kvadrat är ett specialfall av en rektangel. Kvadraten har också fyra räta vinklar, men alla fyra sidor är lika långa. Om sidlängden kallas s blir omkretsen 4s och arean s². En kvadrat med sidan 5 cm har därför omkretsen 20 cm och arean 25 cm².

Så räknar du

Börja med att läsa vad frågan faktiskt vill ha. Ord som runt, kant och stängsel pekar ofta mot omkrets. Ord som yta, golv och täcker pekar ofta mot area. Skriv sedan upp de längder du känner till innan du väljer formel.

Anta att en rektangel har sidförhållandet 2:3 och omkretsen 30 cm. Sidförhållandet betyder att den ena sidan består av två lika stora delar och den andra av tre lika stora delar. Sidorna är alltså inte automatiskt 2 cm och 3 cm. Skriv dem i stället som 2x och 3x.

Räkna så här:

1. Sätt in sidlängderna i omkretsformeln: 2(2x + 3x) = 30.
2. Förenkla parentesen: 2 × 5x = 30, alltså 10x = 30.
3. Dela med 10: x = 3.
4. Räkna ut sidorna: 2x = 6 cm och 3x = 9 cm.
5. Räkna arean: 6 × 9 = 54 cm².

Förhållandet 2:3 beskriver alltså formen, medan x bestämmer storleken. Förhållandet 3:5 kan till exempel ge sidlängderna 3 och 5, men också 6 och 10. Båda paren har samma förhållande. Extra information, som omkrets eller area, behövs för att hitta de faktiska längderna.

En rektangels diagonal går mellan två motsatta hörn. Diagonalen delar rektangeln i två rätvinkliga trianglar. Då kan du använda Pythagoras sats:

a² + b² = c²

I formeln är a och b rektangelns sidor och c är diagonalen. Om sidorna är 5 cm och 12 cm blir beräkningen 5² + 12² = c². Det ger 25 + 144 = 169, alltså c = √169 = 13 cm.

Ibland är diagonalen och en sida kända, medan den andra sidan saknas. Om diagonalen är 13 cm och en sida är 5 cm blir den okända sidan b: 5² + b² = 13². Då är b² = 169 − 25 = 144. Avsluta med roten ur: b = √144 = 12 cm. Kom ihåg att ta √ först när du har fått fram den okända sidans kvadrat.

Vanliga fel

Att blanda ihop omkrets och area. För sidorna 8 cm och 3 cm är omkretsen 22 cm, men arean 24 cm². Svaret 24 är alltså rätt värde för fel fråga om uppgiften efterfrågar omkrets.

Att glömma två av sidorna. Summan a + b räcker inte som omkrets, eftersom en rektangel har fyra sidor. Använd 2(a + b), eller skriv ut a + b + a + b om du vill kontrollera tanken.

Att läsa ett förhållande som färdiga längder. Sidor i förhållandet 2:3 ska skrivas 2x och 3x tills du har tillräckligt med information för att bestämma x.

Att använda Pythagoras sats utan kvadrater. Diagonalen är inte summan av sidlängderna. I Pythagoras sats kvadreras båda sidorna först, och √ används för att få fram själva diagonalen eller den saknade sidan.

Så dyker det upp på högskoleprovet

Rektanglar och annan grundläggande geometri kan förekomma i de kvantitativa delproven. I XYZ, matematisk problemlösning, finns 12 uppgifter per pass och 12 minuter för passet. Varje XYZ-uppgift har fyra svarsalternativ, A–D. Uppgifter med rektanglar kan också vara utformade som jämförelser eller resonemang i KVA och NOG.

En uppgift kan exempelvis ge:

• två sidlängder och fråga efter omkrets eller area,
• ett sidförhållande och en omkrets,
• en area och en av sidlängderna,
• en diagonal tillsammans med en sida.

Miniräknare är inte tillåten på högskoleprovet, och någon formelsamling får inte tas med. Det är därför användbart att känna igen formlerna direkt och kunna räkna med enkla kvadrater och √ utan hjälpmedel. I guiden till XYZ, guiden till KVA och guiden till NOG finns genomgångar av delproven. På övningar finns uppgifter i tre svårighetsgrader, och exempeluppgifter med facit visar hur svar kan kontrolleras.

Tre övningsuppgifter i provets format

Uppgifterna följer XYZ:s upplägg med fyra alternativ. Lös utan miniräknare och ta tid — omkring en minut per uppgift är provets tempo.

Uppgift 1. En rektangel har sidlängderna 7 cm och 4 cm. Vilken är rektangelns omkrets?

• A) 11 cm
• B) 22 cm
• C) 28 cm
• D) 44 cm

Visa lösning

Rätt svar: B. Omkretsen är 2(a + b). Beräkna 2(7 + 4) = 2 × 11 = 22 cm. Rätt svar är B.

Uppgift 2. En rektangels sidlängder är i förhållandet 2:5. Omkretsen är 42 cm, hur stor är rektangelns area?

• A) 50 cm²
• B) 70 cm²
• C) 90 cm²
• D) 105 cm²

Visa lösning

Rätt svar: C. Sidorna kan skrivas 2x och 5x. Då gäller 2(2x + 5x) = 42, alltså 14x = 42 och x = 3. Sidorna är 6 cm och 15 cm, så arean är 6 × 15 = 90 cm².

Uppgift 3. En rektangel har sidförhållandet 3:4 och diagonalen 20 cm. Hur stor är rektangelns area?

• A) 96 cm²
• B) 120 cm²
• C) 192 cm²
• D) 400 cm²

Visa lösning

Rätt svar: C. Sidorna kan skrivas 3x och 4x. Pythagoras sats ger (3x)² + (4x)² = 20², alltså 9x² + 16x² = 400. Då är 25x² = 400, vilket ger x² = 16 och x = 4. Sidorna är 12 cm och 16 cm, så arean är 192 cm².

Vanliga frågor

Hur räknar man ut omkretsen på en rektangel?

Addera rektangelns två olika sidlängder och multiplicera summan med 2: 2(a + b). Om sidorna är 8 cm och 3 cm blir omkretsen 2(8 + 3) = 22 cm.

Hur räknar man ut arean på en rektangel?

Multiplicera rektangelns två sidlängder: a·b. En rektangel med sidlängderna 8 cm och 3 cm har arean 8 × 3 = 24 cm².

Är en kvadrat en rektangel?

Ja. En kvadrat har fyra räta vinklar och uppfyller därför kraven för en rektangel. Kvadraten har dessutom fyra lika långa sidor.